U bent hier » http://www.goudappel.org/ onderwijs/ wiskunde/ Werkplan Wiswijs.php

Werkplan Wiswijs over de niveau 4 opleiding

Leerjaar 1 (ongeveer 1/2 jaar) Wiskunde A (blok 1 en bijlage D) (15 werkbare uren incl toetsing en herkansing)

Leerjaar 1 en 2 (ongeveer 1 1/2 jaar) Wiskunde B (blok 2 en 3 bijlage 4A) + Project. (40 werkbare uren incl toetsing en herkansing, project 5 werkbare uren in samenwerking met vakafdeling)

Leerjaar 3 en 4 (resp 1 en 2 contacturen) Wiskunde C1 (overige bijlagen) (90 werkbare uren incl toetsing en herkansing)

Wiskunde A

afhankelijk van het instapniveau kunnen onderdelen direct getoetst en afgetekend worden.

Blok 1helemaal.

Percentages en verhoudingen.

Omtrek, oppervlakte en inhoudberekening.

ruimtelijke figuren en hun oppervlakte en inhoud

prisma's cylinders

oppervlakte grondvlak * hoogte = volume

Kegels en piramides

oppervlakte grondvlak * hoogte = volume

3

Bol

Cirkels

Bij cirkels speelt het getal Π een grote rol.

p is de verhouding tussen de omtrek en de doorsnee van een cirkel.

bij hoofdrekenen en schatten kan je ervan uitgaan dat Π gelijk is aan 3

De omtrek van een cirkel is dus Π maal de doorsnee (diameter)

en de diameter is tweemaal zo lang als de straal (radius)

De oppervlakte van een cirkel is ongeveer 3/4 van de oppervlakte van het vierkant dat er precies omheen past of 3 maal een vierkant wat een maat heeft van straal keer straal. (3 bij cirkels blijkt vaak Π te zijn)

Er zijn twee formules in omloop die beiden hetzelfde resultaat opleveren

Hierin is A de oppervlakte r de straal en D de diameter

Tekenen op Schaal.

Metriek stelsel.

Wetenschappelijk notatie.

Rekenmachine Bijlage D

Blok 2 hst 5functies en grafieken.

Statistiek weergeven van gegevens in tabellen en diagrammen (Excel)

Centrale waarden:

Rekenkundig Gemiddelde - Alle waarden bij elkaar opgeteld delen door het aantal waarden

Gewogen gemiddelde - Alle waarden met hun wegingsfactor vermenigvuldigd bij elkaar optellen en delen door de som van de wegingen.

Modus - Meest voorkomende waarde

Mediaan - Middelste waarden na sorteren

Wiskunde B

Blok 2

Hst 4 het oplossen van vergelijkingen met 1 en 2 onbekenden.

Hst 7.3 merkwaardige producten

Hst 6 Eerstegraads functies

Lineaire ongelijkheden.

Optimaliseren en kostprijsberekening als toepassing van lineaire vergelijkingen / ongelijkheden.

Blok 3

Hst 8 Tweedegraads vergelijkingen (zonder 8.4 ontbinden)

Hst 9 Analyse tweedegraads functies.

Hst bijzondere functies

Bijlage A4 Exponentiele groei als toepassing van exponentiele functies in economie en biologie. (oplossen, herkennen, tekenen en aflezen)

Wortelfuncties op zich, gelimiteerde processen (herkennen, tekenen en aflezen)

Derdegraads functiesop zich (relatie oppervlakte inhoud) (herkennen, tekenen en aflezen)

Gebroken functies (samenwerken / tegenwerken en parallelschakelingen) (herkennen, tekenen en aflezen)

Sinusfuncties (cyclische processen en hun functies) (herkennen, tekenen en aflezen).

Hst Meetkunde

Radialen als hoekmaat.

Goniometrie: sinus- en cosinusregel, SOS, CAS, TOA. (Total Station)

PoolcoŲrdinaten als plaatsbepaling.

Verweking (goniometrische) landmeet gegevens in Excel en/of Vectorworks

Hst statistiek

Statistiek, normale verdeling, e-norm.

Statistiek, verweking meetgegevens of waarnemingen in Excel

Project

Wiskunde C1

Bijlage B Analyse, differentieren

Foutanalyse.

Kansrekening.

Steekproeven.

Significantie van cijfers.

Wetenschappelijk notatie.

Correlatie en regressie.

Co-relatie is samenhang.

Gemeten waarden kunnen een bepaalde samenhang hebben. Als gemeten waarden heel dicht bij een beschreven lijn liggen (lijn of kromme) spreken we van een correlatie.

We beschrijven de lijn en geven aan hoe ver de gemeten waarden ervan afliggen.

Liggen alle waarden vrijwel op de lijn dan is er een correlatie van 1

is de lijn stijgend dan +1 is de lijn dalend dan -1

Naarmate de waarden verder van de lijn liggen wordt de correlatie kleiner.

Als de waarden helemaal geen structuur hebben is de correlatie 0

Je moet kunnen aangeven of een correlatie aanwezig is en in welke richting die gaat.

Of een correlatie geschat wordt op 0,4 of 0,6 is iets wat ik niet beoordeel.

Computerprogramma's kunnen dat precies uitrekenen, of je kan van elk punt op de lijn berekenen hoeveel SD het van de lijn verwijderd ligt, maar dat valt buiten de stof.

Correlatie. (Excel)

Regressie, inter- en extrapoleren (Excel)

Gebroken functies. (analyse)

Goniometrische en cyclische processen en hun functies (analyse).

Korte inleiding natuurlijke logaritmen (met grondtal e)

Toepassing Excel

Toepassing grafische rekenmachine

4.3 Lineaire ongelijkheden.

Bij lineair ongelijkheden is het = teken vervangen door:

> (groter dan)

< (kleiner dan)

(groter of gelijk aan)

(kleiner of gelijk aan)

In principe los je deze ongelijkheden op door er eerst een gewone vergelijking van te maken (dat levert in een grafiek een lijn op) en achteraf te bepalen of:

Het gebied boven de lijn erbij hoort of het gebied onder de lijn erbij hoort.

Bovendien moet je bepalen of de lijn zelf deel uitmaakt van de grafiek of niet.

Dat kun je doen door een willekeurig punt boven of onder de lijn in te vullen in de ongelijkheid en te kijken of dit een ware bewering oplevert.

Bijvoorbeeld:

De ongelijkheid y > 2x+1 lossen we op voor y = 2x+1

Het resultaat ziet er zo uit:

Door nu het punt (0,5) dat boven de lijn ligt in te vullen in de ongelijkheid krijgen we de bewering:

5 > 0x+1 en dat is waar (5 is inderdaad groter dan 1)

De lijn zelf maakt geen deel uit van de ongelijkheid (in dat geval had er y => 2x+1 moeten staan), maar we kunnen het ook uitproberen:

Door nu het punt (0,1) dat op de lijn ligt in te vullen in de ongelijkheid krijgen we de bewering:

1 > 0x+1 en dat is niet waar (1 is niet groter dan 1)

Als de lijn geen deel uitmaakt van de grafiek wordt die als een gebroken lijn weergegeven de oplossing van deze ongelijkheid ziet er dan als volgt uit:

Optimaliseren en kostprijsberekening

Het voorbeeld aan het begin van hoofdstuk 4 komt direct uit de praktijk.

Als kostenbewuste ondernemer moet je telkens opnieuw vaststellen wat de voordeligste oplossing is.

Je kunt natuurlijk best een scheepslading voer kopen, maar als het bederft en je moet het weggooien heb je er niets aan.

Opslag kost ook geld, zeker als je niet teveel ruimte hebt of opslagmogelijkheden moet bouwen of kopen.

De vraag of iets kan renderen kan buitengewoon complex worden.

Wij gaan uit van redelijk overzichtelijke situaties.

Voorbeeld:

Een voerleverancier geeft korting naarmate er meer zakken voer tegelijk worden afgenomen.

10 zakken volle prijs Ä 150 (Ä 15,00 per zak)

100 zakken Ä 1.000 (Ä 10,00 per zak)

1000 zakken Ä 7.500 (Ä 7,50 per zak)

We gebruiken 10 zakken per maand.

De opslag kost aan ruimte Ä 1 per maand per 5 zakken

(Om aan te geven dat de werkelijkheid nog lastiger is zou je ervan uit kunnen gaan dat je geld moet lenen tegen een bepaalde rente om veel zakken tegelijk te kopen)

In het eerste geval liggen er gemiddeld 5 zakken per maand opgeslagen de kosten zijn dus Ä 5 per maand. + het voer Ä 150 = Ä 155 per maand

In 100 maanden is dat dus Ä 15.500,00

In het tweede geval liggen er gemiddeld 50 zakken over een periode van 10 maanden opgeslagen de kosten zijn dus Ä 50 per maand.

In 100 maanden is dat Ä 500 + het voer Ä 10.000 = Ä 10.500,00

In het laatste geval liggen er gemiddeld 500 zakken over een periode van 100 maanden opgeslagen de kosten zijn dus Ä 100 per maand.

In 100 maanden is dat Ä 10.000 + het voer Ä 7.500 = Ä 17.500,00

In het eerste geval zijn de kosten per zak Ä 16,00

In het tweede geval zijn de kosten per zak Ä 10,50

In het laatste geval zijn de kosten per zak Ä 17,50

De tweede regeling is dus voor ons bedrijf het voordeligst.

Zou dit niet makkelijker kunnen met een grafiek?

Jazeker, maar dan moet de ontwikkeling van de kosten een stelsel van rechte lijnen zijn.

(het kan ook wel voor andere grafieken, maar dan moet je meestal integreren)

Bij voorbeeld om uit te rekenen welk mobieltje je moet kopen bij een bepaald aantal belminuten.

Mobieltje 1 prepay belkosten Ä 0,10/ minuut

Mobieltje 2 abonnement Ä 10 per maand eerste 90 minuten gratis bellen, belkosten Ä 0,02 per minuut

We maken een grafiek met als x-as het aantal minuten

En als y-as de kosten.

De eerste is makkelijk y = 0.1x

De tweede valt uiteen in twee stukken van het domein

Voor x = [0..90] geldt y = 10

Daarna geldt y = 0.02(x-90)+10

We gaan op zoek naar snijpunten, in het eerste stuk [0..90]

y2 = 10 en bij de andere geldt y1 = 0.1x

Vullen we y = >10 in dan vinden we voor x een waarde van 100 en dat valt buiten het domein. In de eerste 90 minuten is er geen snijpunt!

We gaan verder:

In het tweede deel geldt voor het snijpunt 0.1x = 0.02(x-90)+10

Haakjes wegwerken levert 0.1x = 0.02x + 8.2

Beide zijden† 0.02x aftrekken = 0.08x = 8.2

Beide zijden delen door 0.08 levert 102.5 het snijpunt ligt dus bij 102.5 minuten en een prijs van (vul in in ťťn van de vergelijkingen) Ä 10.25

Boven dit aantal minuten is een abonnement in dit voorbeeld goedkoper dan prepayed

Uitgetekend ziet het er als volgt uit:

Voorbeelden en sommen uit het hoofdstuk optimaliseren van toepassen wiskunde toevoegen

Bijzondere functies

ExponentiŽle functies

Bijlage A4 Exponentiele groei als toepassing van exponentiele functies in economie en biologie. (oplossen, herkennen, tekenen en aflezen)

Functies met de volgende algemene gedaante;†

y(t) = y(b)∑at

worden exponentiele functies genoemd. Omdat de variabele (t) als exponent gebruikt wordt.

Deze klasse van functies beschrijven groeiprocessen (of afbraak).

Ze hebben de neiging om steeds sneller te gaan stijgen (of steeds langzamer te gaan dalen)

Voorbeelden zijn de ongeremde groei van bacterien, de groei van spaargeld bij een samengestelde intrest (rente over rente).

Maar ook radioactief verval en verdunningen van stoffen, reactiesnelheden en energieoverdracht worden hiermee beschreven.

Wat betekenen de onderdelen van de algemene formule;

y(t) is de hoeveelheid op een zeker tijdstip t

y(b) is de hoeveelheid aan het begin van de grafiek

a is de groeifactor

t is de tijd die is verlopen sinds b (aantal stapjes)

a de groeifactor kun je uitrekenen door te bepalen waarmee je moet vermenigvuldigen om 1 stapje t verder te komen.

We gaan wat sparen en brengen Ä 20 naar een bank die een rente van 4 % per jaar geeft. Na 1 jaar kijken we op de rekening en we hebben Ä 20.08, niet spectaculair maar er is groei, en het is wel 1.04 keer zoveel geworden, de groeifactor is dus 1.04 met deze gegevens kunnen we verder rekenen, we vullen ze in in de algemene formule.

Ä(t) = 20∑1.04jaren

Als we een tabelletje maken over een periode van 50 jaar en daar een grafiek van tekenen dan zien we het volgende:


0† 20,00

1† 20,80

2† 21,63

3† 22,50

4† 23,40

5† 24,33

6† 25,31

7† 26,32

8† 27,37

9† 28,47

10†††††††††††††††† 29,60

11†††††††††††††††† 30,79

12†††††††††††††††† 32,02

13†††††††††††††††† 33,30

14†††††††††††††††† 34,63

15†††††††††††††††† 36,02

16†††††††††††††††† 37,46

17†††††††††††††††† 38,96

18†††††††††††††††† 40,52

19†††††††††††††††† 42,14

20†††††††††††††††† 43,82

21†††††††††††††††† 45,58

22†††††††††††††††† 47,40

23†††††††††††††††† 49,29

24†††††††††††††††† 51,27

25†††††††††††††††† 53,32

26†††††††††††††††† 55,45

27†††††††††††††††† 57,67

28†††††††††††††††† 59,97

29†††††††††††††††† 62,37

30†††††††††††††††† 64,87

31†††††††††††††††† 67,46

32†††††††††††††††† 70,16

33†††††††††††††††† 72,97

34†††††††††††††††† 75,89

35†††††††††††††††† 78,92

36†††††††††††††††† 82,08

37†††††††††††††††† 85,36

38†††††††††††††††† 88,78

39†††††††††††††††† 92,33

40†††††††††††††††† 96,02

41†††††††††††††††† 99,86

42†††††††††††††††† 103,86

43†††††††††††††††† 108,01

44†††††††††††††††† 112,33

45†††††††††††††††† 116,82

46†††††††††††††††† 121,50

47†††††††††††††††† 126,36

48†††††††††††††††† 131,41

49†††††††††††††††† 136,67

50†††††††††††††††† 142,13

Niet alleen hebben we na 50 jaar zomaar Ä 142.13 op de bank maar ook zie

je dat de groei steeds sneller gaat.

Een ander voorbeeld is de afname van ziekteverwekkers door het gebruik van antibiotica hier krijgen we te maken met een groeifactor kleiner dan 1 (maar groter dan 0)

Probeer zelf eens met de volgende gegevens een grafiek te maken over een periode van een etmaal.

De groeifactor is 0.75 per uur aan het begin zijn er 1.000.000 bacteriŽn.

Uitwerking:

Y(t) = 1000000∑0.75t

Voorbeelden en sommen uit toepassen wiskunde en de praktijk

Het is handig om bij het uitwerken van vraagstukken even een aantekening te maken in wat voor stapjes t loopt.

Exponentiele functies hebben als kenmerk dat ze niet bij 0 kunnen beginnen of eindigen. (dit wordt asymptotisch gedrag genoemd) Bij groei is het duidelijk als je met niets begint wordt het ook nooit wat.

Omgekeerd is het bij afbraak minder voor de hand liggend, toch is het soms letterlijk van levensbelang, bijvoorbeeld bij het gebruik van antibiotica, het is vrijwel uitgesloten dat je met een kuur alle bacteriŽn doodt. Maar je moet wel proberen om zoveel mogelijk te bereiken. (Dieren)artsen schrijven kuren voor die afgemaakt moeten worden omdat dan het aantal overlevende bacteriŽn zo klein is dat er weinig gevaar optreed voor resistentie.

Als er te veel overlevende bacteriŽn zijn kunnen die een populatie voortbrengen die heel goed tegen antibiotica kan.

Kuren afmaken betekent dat je nog moet doorgaan met pillen en drankjes nadat je je al weer veel beter voelt.

Een bijzonder probleem doet zich voor als je de vraag stelt; Hoe lang duurt het totÖ.?

Dan moet je de exponent uitrekenen (de rest is dan bekend)

Daarvoor is een manier die je hier als kunstje geleerd krijgt, gewoon doen en verder niet nadenken.

Er is een wiskundige bewerking die van machten vermenigvuldigingen maakt

Van wortels delingen van delingen aftrekkingen van vermenigvuldigingen optellingen. Gelukkig kan je rekenmachine dat kunstje ook (gelukkig want rekenmachines kunnen alleen maar optellen en aftrekken en dit kunstje, het schuiven met bitjes)

Het kunstje heet de logaritme nemen.

Stel je wilt weten hoe lang het duurt bij een rente van 8 % per jaar om van een inleg van Ä 100 Ä 1.000.000 te maken.

Dat kun je als volgt uitrekenen;

Vul wat je weet in in de algemene formule:

1.000.000 = 100∑1.08t(t in jaren)

Beide zijden delen door 100 levert:

10.000 = 1.08t

Door nu aan beide zijden de logaritme te nemen krijg je:

log(10.000) = log(1.08) ∑ t

Beide zijden delen door log(1.08) geeft t

Je kunt de logaritmen uitrekenen

log(10.000) = 5 en log(1.08) = 0.033423755

maar dat hoeft niet op je rekenmachine kan je het volgende doen;

10000 log / 1.08 log = 119.68 jaar

CEM heeft een incubatietijd van 2 dagen

de besmetting begint met 1 bacterie

De groeifactor is 1,315 per uur

Geef de algemene formule voor dit exponentiele verband

Maak een tabel van het verloop per 3 uur

Teken de grafiek.

Hoeveel bacteriŽn zijn er na die 2 dagen?

Mok kan als het niet behandeld wordt leiden tot bloedvergiftiging

de besmetting begint met 1 bacterie

bij 1000000 bacteriŽn treed bloedvergiftiging op

de groeifactor is 2, de tijdseenheid is 1 dag

Geef de algemene formule voor dit exponentiele verband

Maak een tabel van het verloop per dag

Teken de grafiek.

Na hoeveel dagen treed bloedvergiftiging op?

We behandelen met antibiotica en starten de behandeling 14 dagen na de besmetting

de groeifactor is 0.157, de tijdseenheid is 1 dag

Met hoeveel bacteriŽn beginnen we?

Maak een tabel van het verloop per dag

Teken de grafiek.

Na hoeveel dagen is het aantal bacteriŽn onder de 10 gedaald?

Droes is een bacteriŽle infectie.

In een weefselmonster meten we 2 dagen na de infectie 20 bacteriŽn per mm3

De groeifactor van Droes-bacteriŽn is 2.

De eenheid van tijd is 6 uur. Als de telling boven de 10.000 bacteriŽn per mm3 komt wordt het paard zichtbaar ziek.

Schrijf de algemene formule voor dit exponentiŽle verband op.

Bereken wat de incubatietijd van droes is (de tijd tussen de besmetting en de eerste ziekteverschijnselen).

De ziekte is op zijn hoogtepunt als de telling 200.000 bacteriŽn per mm3 is.

Bereken na hoeveel dagen deze telling bereikt wordt.

Op het hoogtepunt van de ziekte neemt het immuunsysteem van het paard de overhand. De groeifactor is nu 0,25 geworden.

Schrijf de algemene formule voor dit exponentiŽle verband op.

Bereken na hoeveel dagen de telling weer onder de 20 bacteriŽn per mm3 komt.

d. Teken het grafiek waarin het aantal bacteriŽn is uitgezet tegen de dagen.


eenheid t

6 uur

2

2

20

3

3

160

4

4

320

5

5

640

6

6

1280

7

7

2560

8

8

5120

8,965784

8,965784

10000

9

9

10240

10

10

20480

11

11

40960

12

12

81920

13

13

163840

13,28771

13,28771

200000

14

1

50000

15

2

12500

16

3

3125

17

4

781,25

18

5

195,3125

19

6

48,82813

6,643856

6,643856

20

20

7

12,20703


Wortelfuncties

Een bijzondere klasse van exponentiele functies zijn de functies met als exponent een getal kleiner dan 1 (maar groter dan 0) bij voorbeeld 0.5 deze heet wortelfunctie (want x0.5 = Vx)

Wortelfuncties zijn kenmerkend voor gelimiteerde processen.

In de natuur zie je dat groei beperkt wordt door de hoeveelheid voedsel, economische groei wordt beperkt door de hoeveelheid grondstoffen etc.

Een paar weetjes:

Als de exponent 1 is is de functie een rechte lijn (kennelijk is een rechte lijn een bijzondere vorm van een exponentiŽle functie)

Als de exponent naar 0 nadert krijg je een geknikte grafiek

Als de exponent naar Ķ nadert krijg je een loodrechte lijn (de y-as)

Tekstvak: Een paar weetjes:
Als de exponent 1 is is de functie een rechte lijn (kennelijk is een rechte lijn een bijzondere vorm van een exponentiŽle functie)
 
Als de exponent naar 0 nadert krijg je een geknikte grafiek
 
Als de exponent naar Ķ nadert krijg je een loodrechte lijn (de y-as)

Derdegraads functies

(relatie oppervlakte inhoud) (herkennen, tekenen en aflezen)

Je hebt al kennis gemaakt met tweedegraads functies de grafieken hiervan zijn de zogenaamde parabolen Tweede machten zijn of allemaal positief of allemaal negatief, een parabool kan dus naar oneindig + of naar oneindig - lopen maar niet beide.

Derdegraads functies kunnen dat wel.

Er zitten juweeltjes bij:

De algemene vergelijking van een derdegraads functie is

y = ax3 + bx2 + cx + d

maar wij beperken ons hier tot y = x3

dus met a = 1 en b,c,d = 0

In de praktijk gebruiken we toch voornamelijk het positieve deel van de† functie. Van de dingen die met een derde macht toenemen is volume wel de bekendste, je kunt bijvoorbeeld het volume van een kubus, bol of cilinder schrijven als functie van de diameter of hoogte.

Op die manier kun je de optimale verhoudingen uitrekenen tussen materiaalgebruik en volume. Je kunt ook de relatie tussen oppervlakte (een tweedegraads functie) en volume gaan bekijken.

Zo kun je uitrekenen dat het in koude gebieden (op de polen) gunstig is om dik (rond) en groot te zijn en verklaren waarom in dit klimaat alleen dikke ronde en grote dieren voorkomen. Die combineren de voordelen van een groot volume met een relatief kleine buitenkant en koelen dus minder af.

Een paling is een cilinder van 30 cm lang en 2 cm in diameter

Een muis is een cilinder van 7 cm lang en een diameter van 4 cm

Een cavia is een kegel van 15 cm hoog en een basis van 10 cm

Een ijsbeer is een bol met een diameter van 2 meter


Gebroken functies

(samenwerken / tegenwerken en parallelschakelingen) (herkennen, tekenen en aflezen)

Functies met de algemene gedaante;


Worden gebroken functies genoemd


Wij beperken ons tot;

dus met b = 1 en a,c,d = 0

Je ziet direct dat er een aantal onmogelijkheden in deze functie zitten, Als x = 0 gaat het mis want delen door nul geeft een onbepaalde utkomst.

Ook is er geen deling denkbaar die 0 als uitkomst heeft.

Deze functie is dus onoplosbaar voor x = 0 en voor y = 0


Niet alleen is de functie een breuk, ook de grafiek is "gebroken"

Deze functies beschrijven het effect van samenwerking. Maar gen ook de grenzen aan (als negen vrouwen samenwerken kunnen ze niet in 1 maand een kind krijgen)

Als twee mensen met een zelfde werk tempo samenwerken is de klus in de helft van de tijd gedaan dat is duidelijk.

Maar als iemand 20 hokken per uur kan schoonmaken en hij gaat samenwerken met een stagiere die maar 10 hokken per uur kan schoonmaken kan je uitrekenen hoe lang het duurt door de volgende berekening:

20 hokken per uur is 1 hok per 3 minuten

samen met 1 hok per 6 minuten


3 hokken per 6 minuten samen doen ze 20 hokken in 40 minuten

De grenzen worden bereikt op een moment dat de mensen elkaar in de weg gaan lopen.


Sinusfuncties

(cyclische processen en hun functies) (herkennen, tekenen en aflezen).

y = a - b sin(cx-d)

De functie y = sin(x) (x in graden)


Ziet er als volgt uit,

Uit het feit dat voor x een hoekmaat gebruikt wordt kun je al bedenken dat er iets aan het draaien is.

Het is een zij aanzicht van een spiraal Het is een manier om naar kringlopen te kijken.

De stand van de zon, de loop van de seizoenen, maar ook allerlei processen zoals de hormoonspiegel in het bloed, en daarmee de (be)vruchtbaarheid.

De vruchtbaarheidcyclus van een merrie kan je schrijven als:

y=10*sin(2*Π/22*x)

hierbij is y de vruchtbaarheids-hormoonspiegel en x het aantal dagen.

als y > 9,5 dan vruchtbaar

Wanneer begint dat, hoe lang duurt dat?

sin(2*Π/22*x) moet dan groter zijn dan 0,95, dat gebeurt bij hoeken van groter dan 71.8į en kleiner dan 108.2į of tussen 1,25 rad en 1,89 rad

vul dat in dan vind je:

1.253 = 2Π/22*x

22*1.253/2Π = x = 4.39

1.888 = 2*Π/22*x

22*1.888/2Π = x = 6.61

dat is van dag 4, half 10 's morgens tot dag 6, 10 over half 3 's middags

2.22 dagen oftewel 2 dagen en 5 uur en een kwartier

Hst Meetkunde

Radialen als hoekmaat.

Er zijn veel gelijkwaardige manieren om een hoek aan te geven, we zijn gewend aan graden waarbij een cirkel 360 graden (deg) beslaat.

Je zou een hoek ook in uren kunnen verdelen zodat een cirkel uit 12 uren bestaat. (gevaar op 9 uur)

Of een tandwiel met 40 tanden heeft een omtrek van 40 tanden en die kun je dus ook als hoekmaat gebruiken.

Cirkels hebben een omtrek die ook een hele cirkel is, de omtrek van een cirkel is 2Πr dus 2Πr is ook een goede maat voor een hele cirkel.

Deze laatste hoekmaat wordt bijvoorbeeld door Excel gebruikt.

Ook rekenmachines hebben de mogelijkheid om ermee te werken.

Als een hoek wordt uitgedrukt in stukjes van de cirkelomtrek noemen we dit radialen (rad)

1 rad is dus gelijk aan 360/2Π = 57.296 graden

1 graad is dus 2Π/360 = 0.017 radialen

Rekenmachine:

Rekenmachine in de DEG (degree = graden) modus

Rekenmachine in de RAD (radialen) modus

Van hoek naar sinus gebruik de sin functie van de rekenmachine

Van sinus naar hoek gebruik de sin-1 functie van de rekenmachine (shift sin)

Tekstvak: Rekenmachine:
Rekenmachine in de DEG (degree = graden) modus
Rekenmachine in de RAD (radialen) modus
Van hoek naar sinus gebruik de sin functie van de rekenmachine
Van sinus naar hoek gebruik de sin-1 functie van de rekenmachine (shift sin)

Goniometrie: sinus- en cosinusregel, SOS, CAS, TOA. (Total Station)

Met een paar simpele regels is het mogelijk om van een driehoek waarvan 3 dingen bekend zijn alle andere onderdelen precies te berekenen.

We spreken af:

Hoek α ligt tegenover zijde A

Hoek β ligt tegenover zijde B

Hoek γ ligt tegenover zijde C

Bij rechthoekige driehoeken

De schuine zijde van een rechthoek ligt tegenover de rechte hoek en is het langste.

Aanliggend betekent aan de hoek vast waarmee we rekenen.

Overstaand betekent tegenover de hoek waarmee we rekenen.

Regel 1 de binnenhoeken van een driehoek (op een vlak) zijn samen 180 graden

Regel 2 sinusregel

Regel 3 cosinusregel

In rechthoekige driehoeken geldt:

Regel 3a pythagoras

Regel 4 de verhouding overstaande / schuine = sin (hoek)

Regel 5 de verhouding aanliggende / schuine = cos(hoek)

Regel 6 de verhouding overstaande / aanliggend = tan(hoek)

Regel 7 De oppervlakte van een driehoek is altijd de helft van de rechthoek die er precies omheen past, oftewel

2 De sinusregel zegt:
in een bepaalde driehoek is de verhouding tussen een zijde en de sinus van de tegenoverliggende hoek constant.

3 De cosinusregel zegt:

Werkt als een pincet als de hoek kleiner wordt dan knijpen de punten bij elkaar.

Of

3a Pythagoras is een bijzonder geval van de cosinusregel als hoek γ 90 graden wordt is de cosinus 0 en vervalt de gele term -2ABcos(γ)

Die zegt in wezen dat de oppervlakte van het vierkant bij A en de oppervlakte van het vierkant bij B samen even groot zijn als de oppervlakte van het vierkant bij C.

4 de verhouding overstaande / schuine† = sin (a)

5 de verhouding aanliggende / schuine = cos(a)


6 de verhouding overstaande / aanliggende = tan(a)

PoolcoŲrdinaten als plaatsbepaling.

Om ergens te komen kun je via een rechthoekig assenstelsel aangeven hoeveel je in de x richting moet en hoeveel in de y richting.

In het dagelijks leven gebruiken we ook vaak wijzen in een richting en aangeven hoe ver je moet gaan. Deze laatste manier os ook mogelijk in een rechthoekig coordiantenstelsel waarbij de afspraak is gemaakt dat de positieve x as als 0 geldt en er linksom geteld wordt.

De aarde zelf is ingedeeld met dubbele poolcoordinaten. Je kunt je voorstellen dat er een mannetje in het midden van de aarde zit met zijn neus naar de evenaar ter plaatse van het snijpunt met de 0-meridiaan

(ruwweg 500 km uit de kust van Ghana)

Vanaf die plaats wijst hij dingen aan

Bijvoorbeeld Amsterdam 52.25 noord 4.40 oost

Of Zwolle 52.30 noord 6.15 oost

Melbourne AustraliŽ 40.00 zuid 125 oost

Deze posities worden gebruikt op (zee)kaarten en door het GPS satellietnavigatie systeem.

Een en ander is genormaliseerd in het WGS 84 (World Geodetic System 1984)

Dit systeem heeft grote voordelen en maar 1 nadeel in de noord-zuid richting komt een graad overeen met 60 zeemijl (NM, 1 NM = 1852 m) 1 minuut is dus 1 MN.

In de oost-west richting komen de graden steeds dichter bij elkaar, bij de pool liggen alle 360 graden op ťťn punt.

Een minuut in de oost-west richting is cos(breedte)*1852 meter

In Zwolle is een minuut naar het oosten 1127 m maar een minuut naar het noorden 1852 m

Als je met kaarten of met GPS werkt krijg je hiermee te maken.

Rijkswaterstaat gebruikt voor Nederland op zijn kaarten ook nog een X-Y net de zogenaamde Amersfoortse coŲrdinaten (omdat de oorsprong van het coŲrdinatenstelsel daar ligt

Verweking (goniometrische) landmeet gegevens in Excel en/of Vectorworks

Hst statistiek

Statistiek, normale verdeling, e-norm.

Relatieve frequentie

Om groepen van ongelijke grootte met elkaar te kunnen vergelijken moet je ze zodanig normaliseren dat de groepen een gelijke basis hebben bijvoorbeeld doe alsof elke groep uit honderd waarden bestaat. (dat is precies wat procenten betekenen)

zoveel van het geheel

Spreiding

Er blijkt een hele grote groep van verdelingen te zijn die dezelfde structuur hebben.

De normale verdelingen

De eigenschappen van de normale verdeling zijn goed beschreven, zo goed dat je door twee waarden aan te geven de gehele grafiek kan bepalen.

De eerste waarde die je moet weten is het rekenkundig gemiddelde,

We moeten weten wat de modus en de mediaan is, in elk geval of die vrijwel overeenkomen met het rekenkundig gemiddelde. Als dat het geval is is er waarschijnlijk sprake van een normale verdeling.

De klok-vormige kromme (curve) die hoort bij normale verdelingen heet de Gauss kromme.

In het midden zit het gemiddelde en links en rechts van het gemiddelde zitten evenveel waarden.

Hoe verder je bij het gemiddelde vandaan komt (naar boven of beneden) hoe zeldzamer de waarden worden.

Je hebt hele steile krommen, een kleine spreiding of hele vlakke met een grote spreiding.

Bij normale verdelingen kan je de spreiding uitdrukken in een eenheid die Standaard deviatie wordt genoemd.

Er is een genormaliseerde manier bedacht om die standaarddeviatie uit te rekenen.

Bekijk het is in het boek en onthoud hoe je het op de rekenmachine kunt uitrekenen.

De normale verdeling speelt zich vrijwel geheel af tussen het gemiddelde en 3 standaarddeviaties meer of minder.

Je kunt dus een standaard grafiek tekenen met de Gauss kromme en daaronder de x-as die je verdeelt in 6 stukjes met in het midden de gemiddelde waarde. de maatverdeling is de standaarddeviatie.

Je ziet dat je voor grote spreidingen een grote standaarddeviatie nodig hebt en voor kleine spreidingen een kleine standaarddeviatie.

De oppervlakte van de grafiek is alle waarden dus 100%

Nu blijkt dat bij normale verdelingen bij bepaalde stukjes vaste oppervlaktes horen (blz 59)

Bij het vullen van zakken en potten worden machines ingesteld op een bepaalde waarde. De resultaten zullen bij nawegen een normale verdeling vertonen.

Als je de machine instelt op de waarde die op de verpakking staat dan krijgt de helft van de klanten te weinig en de andere helft te veel.

Consumenten vinden dit onacceptabel.

Er is afgesproken om machines zodanig in te stellen dat niet meer dan 2,5% van de klanten minder krijgt dan de aangegeven hoeveelheid.

Dit is vastgelegd in de e-norm.

Je begrijpt dat de standaarddeviatie samenhangt met de nauwkeurigheid van de machine, je gaat geen machine die is gemaakt voor medicijnen gebruiken om voerbrok af te wegen.

Z-waarde

Als je bedenkt dat de x-as is verdeeld in standaarddeviaties, dan kan je wel nagaan dat de niet op gehele waarden hoeft uit te komen.

Ook tussenliggende waarden zijn mogelijk.

De oppervlakte onder een grafiek bepaal je door te integreren, dat is lastig maar wel te doen. Het resultaat hiervan is een tabel, die aangeeft wat de oppervlakte van een grafiek is tot een bepaald punt. Integreren begint altijd links in het domein, zodat je soms waarden van elkaar moet aftrekken om de gevraagde waarden te vinden.

Statistiek, verweking meetgegevens of waarnemingen in Excel

Project